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Potenze, Esponenziali, Radici, Logaritmi

In questo articolo ti descriverò la differenza tra potenze, esponenziali, radici e logaritmi. Per partire ti serve solo un concetto: quello di invertibilità di una funzione. Non lo ricordi? Leggi in fondo a questa guida .

Partiamo dalle cose semplici: elevamento a potenza.

Sia x un certo numero, scrivere f(x)=x2 significa che la funzione f(x) assume il valore della variabile indipendente x moltiplicata per se stessa 2 volte, cioè f(x)=x*x .
Cioè se x=5, f(5)=25, se x=7, f(7)=49 ...
Allo stesso modo f(x)=x3  significa far assumere alla f(x) il valore di x moltiplicato per se stesso 3 volte.
In generale quindi scrivere f(x)=xk significa che f(x) assume il valore di x moltiplicato per se stesso k volte. 

Notiamo subito un'importante proprietà: se k è pari, f(x) potrà assumere solo valori positivi o nulli, mentre se k è dispari, f(x) conserverà il segno di x. Dunque questo implica che le funzioni con k pari sono quantomeno non suriettive (non ti ricordi cosa significhi? Leggi qui).
Dunque le funzioni con k pari non sono neppure biiettive e quindi invertibili su .

Possiamo però restringere opportunamente il dominio di queste funzioni in modo che, sul dominio ristretto, la funzione f(x)=xk  sia biiettiva e dunque invertibile.

Supponiamo di aver ristretto quindi il dominio e il codominio ai reali positivi, cerchiamo l'inversa di y=f(x)=xk : basterà elevare entrambi i membri a 1/k e, per le proprietà delle potenze, otterremo:

x=y1/k
che normalmente indichiamo con
   
Abbiamo quindi dedotto che la radice di un numero è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. 

Mettiamo a posto la restrizione di dominio osservando semplicemente che, se avessi considerato come dominio ristretto di  f(x) i reali negativi, avrei ottenuto, per la funzione diretta, 
f(x)=xk=(-x)k=f(-x)    con   k pari, x>0
Dunque, eseguendo gli stessi passaggi,
 
Pertanto possiamo condensare i due casi nella scrittura



esempio
sia k=2, cioè y=f(x)= x2  vogliamo rappresentare sul piano cartesiano f(x) e f-1(x). Abbiamo detto che, restringendo Dom(f) ai reali positivi, la funzione inversa di f(x) è x= y1/2.
Avendo indicato in rosso f-1(x) e in verde f(x). Si nota come esse siano simmetriche rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante: questa è una proprietà condivisa da tutte le funzioni dirette e dalle loro inverse: l'inversa di una funzione e la funzione stessa hanno grafico simmetrico rispetto a y=x.


Se hai capito quanto fatto fin qui, bene! Possiamo passare agli esponenziali, che non sono altro che un rimaneggiamento delle funzioni precedenti, ossia consideriamo la funzione
f(x)=cx
dove x è la variabile indipendente, mentre c è un numero reale fissato. Siccome, se c fosse negativo, otterremmo una funzione che oscilla tra valori positivi e negativi, dunque sicuramente non invertibile, per il momento consideriamo c>0. La funzione così posta si dimostra essere biiettiva, dunque invertibile. La funzione inversa in questo caso è un po' più complicata di prima e viene definita con a funzione logaritmo. La definizione di tale funzione è dunque


dove a si dice "base" e c "esponente". 

Dunque chiedersi quanto vale c risolvendo il logaritmo corrisponde a chiedersi "qual è il numero c che devo mettere come esponente ad a per ottenere b?"
esempio
Rappresentiamo la funzione diretta e inversa anche in questo caso: scegliamo c=2, dunque: in blu y=f(x)=2x   e in rosso  x=log_2 (x)


Anche in questo grafico notiamo la proprietà sopra esposta: i grafici della funzione diretta e inversa sono simmetrici rispetto a y=x



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