ESERCIZI RISOLTI sulle FUNZIONI: iniettività, suriettività, biiettività

In questo articolo ti presenterò una serie di esercizi risolti su come si determina quando una funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva.
Non ti ricordi questi termini? Leggi la mia guida FUNZIONI

esercizio 1

Si determini se la funzione f(x)=2x+1 è biiettiva.
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Per dimostrare che la funzione in oggetto è biiettiva, sarà necessario dimostrare che è SIA iniettiva, SIA suriettiva.

Iniziamo con l'iniettività. Ricordiamoci che "Una funzione f(x) è INIETTIVA se PER OGNI x,x' diversi tra loro, le loro immagini sono diverse ovvero f(x) è diverso da f(x')."

Dunque per dimostrare che una funzione è iniettiva, dobbiamo dimostrare che lo è PER OGNI scelta di x e x' (cioè per qualsiasi x, x'), mentre per dire che una funzione non è iniettiva, sarà sufficiente trovare un controesempio, ovvero trovare un x e un x' tale che se x e x' sono diversi, f(x)=f(x').

Dimostriamo quindi che la funzione è iniettiva:

Supponiamo PER ASSURDO che f(x) e f(x') siano uguali benché x e x' sono diversi. Allora si ha che

Il chè contraddice l'ipotesi che x e x' siano diversi, dunque si deve ammettere necessariamente che f(x) è iniettiva.

Valutiamo ora la suriettività (in R, insieme dei numeri reali). Ricordiamoci che "Una funzione f(x) è suriettiva se l'insieme delle sue immagini è pari al codominio stesso, ovvero non esistono elementi del codominio che non siano anche elementi immagine di qualche elemento del dominio."
Allora supponiamo per assurdo che esista un certo valore di y, che chiamiamo y*, per cui y* è un numero reale, ma y* non è immagine di alcun valore in x, ovvero non esiste y* tale che y*=f(x).
Dunque l'equazione y*=2x+1 non deve avere alcuna soluzione. Tuttavia, rimaneggiando l'equazione



da cui, fissando x nei numeri reali, si ottiene un'equazione che può sempre essere soddisfatta, dunque si deve ammettere che y* non esista. La funzione è dunque suriettiva.

Dunque, essendo la funzione iniettiva e suriettiva, è anche biiettiva (o bigiettiva, o "è una relazione biunivoca").


esercizio 2

Si determini se la funzione f(x)=x²+2x+1 è biiettiva
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Procediamo analogamente a prima:

Vediamo se la funzione è iniettiva:



Diciamo  che "abbiamo il sentore" che la funzione non sia iniettiva, dunque proviamo a trovare un controesempio, ovvero a cercare una coppia di valori di x a cui corrisponda la stessa y=f(x). Dopo qualche tentativo ci accorgiamo che sostituendo x=1 si ottiene y=f(1)=4 e sostituendo x=-3 si ottiene y(-3)=4, dunque esiste almeno una coppia di valori x, x' diversi (nel nostro caso 1,-3) tale che f(x)=f(x'), dunque la funzione non è iniettiva.

Non essendo iniettiva, la funzione non sarà neppure biiettiva.
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Quindi avremmo già risolto l'esercizio, ma, da bravi studenti, vediamo cosa sarebbe successo se avessimo considerato anche la suriettività.
Analogamente a prima, vogliamo quindi cercare un valore di y, detto y*, che sia reale, ma non sia immagine di alcun valore di x. Anche in questo caso, possiamo banalmente procedere per tentativi: y= -5, ad esempio, ci riduce il problema a un'equazione di secondo grado in x:




Dunque l'equazione non ha soluzione, quindi y=-5 non appartiene alle immagini di x, pur essendo un numero reale. La funzione non è dunque neppure suriettiva.