FUNZIONI, queste sconosciute!

In questo articolo ti fornirò le basi per capire che cos'è una funzione, come si rappresenta e alcune sue proprietà fondamentali.

DEF Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme di partenza (detto DOMINIO), UNO ED UN SOLO elemento di un altro insieme (detto CODOMINIO).

Per farti "toccare con mano" questo concetto, pensa alla vita reale: un esempio di funzione è quella che associa a ogni persona il proprio codice fiscale: una certa persona non può avere due codici fiscali diversi, ma UNO E UNO SOLO (cioè "solo uno") .

Più spesso, però, ti troverai davanti funzioni scritte nella forma

y = f(x) = x² + 1

Un' espressione di questo tipo si leggerà quindi "la funzione f(x) è una funzione che associa ad ogni elemento di x, un solo elemento che si calcola con l'espressione f(x)=x² + 1". Dunque se il dominio di partenza è quello dei numeri naturali (1,2,3...),

• quando x=0, y=f(x) varrà 0²+ 1=1 dunque y=f(0)=1
• quando x=1, y=f(1)=1²+ 1=2
• quando x=2, y=f(2)=2²+ 1=5
• quando x=3, y=f(3)=3²+ 1=10 ....e così via per tutti i numeri naturali

NOTA BENE: la scrittura f(x) significa "prendi la funzione f e calcolala nel punto x", così come abbiamo visto nell'elenco puntato precedente.

Un modo rapido di rappresentare le funzioni è utilizzare i diagrammi di Eulero-Venn (EV), tuttavia la maggior parte degli studenti tende poi a non collegare i concetti visti su EV con quelli poi presentati sul piano cartesiano, che è di gran lunga più utilizzato. Per maggiore chiarezza, quindi, presenterò un esempio di funzione e la presenterò in entrambi i modi.

• EULERO-VENN: gli insiemi si rappresentano come "zone" dello spazio nel quale "vivono" gli elementi che appartengono all'insieme, rappresentati con dei punti. Una freccia orientata che va da un insieme a un altro rappresenta una funzione. L'elemento a cui la freccia arriva si dice IMMAGINE dell'elemento da cui la freccia parte. Allo stesso modo, l'elemento da cui la freccia parte si dice CONTROIMMAGINE dell'elemento a cui la freccia arriva. Ad esempio, in figura, si può vedere che f(0)=1 è immagine dell'elemento 0 e dunque che 0 è controimmagine dell'elemento f(0)=1. Dunque è chiaro che il codominio di una funzione è l'insieme che contiene le immagini degli elementi del dominio.
• PIANO CARTESIANO: gli elementi dell'insieme di partenza sono rappresentati IN MODO ORDINATO sull'asse x (ascisse) e quelli del codominio sono rappresentati sull'asse dell y. Ogni elemento in tale piano è dunque rappresentabile univocamente dalle coordinate su x e su y (ad esempio, se un certo punto P nel piano ha coordinate x=5, y=2, si dirà P=(5,2) ). Nel nostro caso, ciò che ci interessa rappresentare è la relazione tra i valori assunti dalle x e quelli assunti conseguentemente dalle y, cioè y=f(x). Per farlo, segneremo semplicemente i punti del tipo P=(x, f(x) ), ovvero prenderemo un valore di x sulle ascisse, calcoleremo il corrispondente valore di y=f(x) e lo cercheremo sulle ordinate, dunque segneremo in qualche modo (ad esempio con una "x") l'intersezione tra la "riga" a cui troviamo la y cercata e la "colonna" in cui c'è la nostra x.

Da questo semplice esempio possiamo vedere la perfetta analogia che c'è tra la rappresentazione sul diagramma EV e sul piano cartesiano, ma anche il differente livello di "comodità" nel rappresentare la stessa funzione: per pochi elementi il diagramma EV è molto semplice e si riesce a tracciare, ma non è in grado di mostrare rapidamente l'andamento della funzione; per contro la rappresentazione sul piano cartesiano è molto più potente e -soprattutto- ordinata. 

Notiamo anche che a un valore di x non corrispondono mai più valori di y=f(x): ciò è conseguenza della definizione di funzione. Tuttavia è ammissibile che 

• a due (o più) elementi di x corrisponda lo stesso elemento di y=f(x)
• a un elemento di x non corrisponda alcun elemento di y=f(x)

In entrambi i casi, la definizione di funzione non risulta violata. Facciamo qualche esempio:

In questa funzione si vede come ai valori  x= 1, -1 corrisponda sempre y=1 infatti 1² =1 e (-1)² =1, analogamente per x= -2, 2 si ha sempre x=4 e così via per tutti i numeri reali.

NOTA BENE: in questa rappresentazione sul piano cartesiano si è tracciato il grafico della funzione con una linea continua perché la funzione è ad entrate reali, mentre nel caso precedente era a entrate naturali: si può dimostrare che presi due numeri reali qualsiasi, ne esiste sempre uno che è compreso tra i due, mentre ciò non vale per i naturali: da qui le due diverse rappresentazioni. 

Si vede inoltre come sia fortemente limitato l'uso dei diagrammi di Eulero-Venn: su di essi non ho potuto rappresentare che pochi elementi, mentre sul piano cartesiano ho rappresentato TUTTI gli elementi in un certo intervallo delle x, in questo caso tra x= -3 e x= 3. 

Analizziamo adesso un caso per cui a una certa x non corrisponda alcuna y:

Da tale esempio si vede come l'elemento y=0 non appartenga all'insieme immagine della funzione (infatti non l'ho neanche rappresentato sul diagramma di Eulero-Venn) in quanto y=f(x)=0 implica 0=1/x, che non ha soluzioni. Dalla rappresentazione cartesiana si può infatti notare che la funzione non "tocca" mai il valore zero: gli si avvicina indefinitamente, senza mai essere davvero zero. 

Questi due esempi ci consentono di definire due importanti proprietà delle funzioni:

DEF Sia y=f(x)  una funzione da A a B, sia A il dominio di f, sia B il suo codominio. La funzione f è INIETTIVA se PER OGNI x,x' diversi tra loro, le loro immagini sono diverse ovvero f(x) è diverso da f(x'). 

Ad esempio la funzione f(x)=x²  non è iniettiva perchè esistono almeno due elementi (ad esempio x=1 e x'=-1) ai quali corrisponde la stessa immagine, y=1. Graficamente si può vedere che sul piano cartesiano, presa una certa y, esistono due diverse x che corrispondono a tale y attraverso la funzione. Sui diagrammi EV si vede che due frecce, che nascono su elementi diversi del dominio, arrivano sullo stesso elemento del codominio.

Per contro, y=x+1 è iniettiva.

DEF Sia y=f(x)  una funzione da A a B, sia A il dominio di f, sia B il suo codominio. La funzione f è suriettiva se l'insieme delle sue immagini è pari al codominio stesso, ovvero non esistono elementi del codominio che non siano anche elementi immagine di qualche elemento del dominio.

Ad esempio la funzione f(x)=x²  non è suriettiva perchè nel suo codominio ci sono tutti i valori reali, ma la funzione ha solo immagini positive o nulle, dunque il semipiano negativo, compreso nel codominio, non è invece compreso nell'insieme delle immagini di f . Graficamente, si può vedere che sul piano cartesiano tale funzione "non occupa" la porzione di piano nel quale vivono le y negative.

Anche f(x)=1/x non è suriettiva perchè nel suo codominio ci sono tutti i numeri reali, ma l'elemento "zero" non fa parte dell'insieme delle immagini.

DEF Se una funzione è iniettiva e suriettiva su un certo dominio, allora su quel dominio è BIGETTIVA

NOTA BENE Se una funzione non risulta iniettiva o suriettiva su un certo dominio, è sempre lecito effettuare una riduzione di dominio in modo tale che sul nuovo dominio la funzione abbia le proprietà cercate. Però bisogna dichiarare questo passaggio